Interval Konfiden Proporsi Satu Populasi

Interval Konfiden \[ \left( 1 - \alpha \right) 100\% \] untük proporsi adalah :

\[ \frac{X}{n} - Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\frac{X}{n}\left( 1 - \frac{X}{n} \right)}{n}} \leq P \leq \frac{X}{n} + Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\frac{X}{n}\left( 1 - \frac{X}{n} \right)}{n}} \]

Kemudian untuk menentukan besar jumlah sampel yang akan digunakan agar tingkat kesalahan tidak melebihi D (toleransi):

\( n = \frac{1}{4} \left[ \frac{Z \alpha / 2}{D} \right]^2 \)

Sedangkan untuk populasi yang terbatas, dapat ditentukan

\[ \begin{array}{l} \frac{X}{n} - Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\frac{X}{n}(1 - \frac{X}{n})}{n}} \cdot \sqrt{\frac{(N - n)}{N - 1}} \leq P \leq \\ \frac{X}{n} + Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\frac{X}{n}(1 - \frac{X}{n})}{n}} \cdot \sqrt{\frac{(N - n)}{N - 1}} \end{array} \]

Untuk memperjelas, berikut ini diberikan contoh yang lebih rinci: Dinas Kesehatan Kota (DKK) bertujuan untuk mengetahui persentase (%) penduduk yang merokok satu bungkus sehari. Dalam rangka memenuhi tujuan tersebut, dilakukan pengambilan sampel secara acak dengan jumlah 300 orang penduduk yang diwawancarai. Hasilnya, ditemukan bahwa 36 orang mengaku merokok setidaknya satu bungkus sehari. Berdasarkan data tersebut, buatlah interval keyakinan 95% untuk P. Diketahui bahwa:

• n = 300
• X = 36
• 1 - α = 95%
• α = 0,05
• Za/2 = 0,025 = 1,96

Dari hasil uji dengan tingkat konfidensi 95%, diketahui bahwa persentase penduduk yang merokok satu bungkus sehari berada dalam interval antara 8,32% hingga 15,67%.

Contoh lain:

Pimpinan sebuah bank swasta ingin memperkirakan persentase nasabah yang merasa tidak puas dengan pelayanan yang diberikan oleh karyawannya. Untuk tujuan tersebut, dari 2000 nasabah yang datang, diambil sampel acak sebanyak 250 orang. Ternyata, 60 orang di antaranya menyatakan tidak puas dengan pelayanan yang diberikan oleh bank tersebut. Jika pimpinan bank menggunakan tingkat konfidensi 95%, maka buatlah interval konfidensi untuk persentase nasabah yang tidak puas atas pelayanan yang diberikan oleh karyawan bank

Pimpinan perusahaan yang bergerak di bidang produksi alat elektronik ingin mengestimasi masa pakai barang-barang elektronik yang diproduksinya. Beliau berkeinginan agar estimasi tersebut tidak melebihi angka 30 jam. Dengan tingkat kepercayaan 95%, berapa jumlah sampel yang harus diambil, mengingat standar deviasi populasi sebesar 250 jam?

5 = 250 jam; D = 30; Zα/2 = Z 0,025 = 1,96.

Dengan demikian, diperoleh hasil:

n ≥ 267, yang berarti jumlah sampel yang diperlukan tidak boleh kurang dari 267. Hal ini memastikan bahwa kesalahan estimasi (D) tidak lebih dari 30 jam

Dinas Sosial bertujuan untuk mengestimasi proporsi keluarga di kota Surabaya yang masih hidup di bawah garis kemiskinan. Estimasi yang dilakukan tidak boleh memiliki kesalahan lebih dari 3%. Dengan tingkat kepercayaan 95%, berapakah ukuran sampel yang dibutuhkan?

D = 3%

1 - α = 0,95
α = 0,05
α/2 = Z₀,₀₂₅ = 1,95

Jika terdapat dua sampel, misalnya X₁ dan X₂, yang masing-masing memiliki ukuran n₁ dan n₂, dan kedua sampel dianggap independen (yaitu, observasi dalam sampel 1 tidak bergantung pada observasi dalam sampel 2), maka interval konfidensi 100% untuk selisih dua rata-rata (μ₁ - μ₂) adalah sebagai berikut:

UNTUK SAMPEL KECIL (n₁ < 30; n₂ < 30):

$$\left[ \bar{X}_1 - \bar{X}_2 \right] - t(n₁ + n₂ - 2; \infty / 2) \cdot \sqrt{S_p^2 \left( \frac{1}{n₁} + \frac{1}{n₂} \right)} \leq μ₁ - μ₂ \leq \left[ \bar{X}_1 - \bar{X}_2 \right] - t(n₁ + n₂ - 2; \alpha / 2) \cdot \sqrt{S_p^2 \left( \frac{1}{n₁} + \frac{1}{n₂} \right)}$$

dengan:

$$S_p^2 = \frac{(n₁ - 1)S₁² + (n₂ - 1)S₂²}{n₁ + n₂ - 2}$$

Untuk Sampel Besar (n1 > 30; n2 > 30):

$$[X_1\bar{} - X_2\bar{}] - Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{S_p^2\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)} \leq \mu_1 - \mu_2 \leq [X_1\bar{} + X_2\bar{}] - Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{S_p^2\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}$$

Contoh Sampel Kecil:

Seorang dosen ingin mengestimasi selisih rata-rata waktu belajar (dalam jam) setiap minggu antara mahasiswa dan mahasiswi di suatu kota. Sampel acak terdiri dari 12 mahasiswa dan 10 mahasiswi. Informasi yang diperoleh adalah sebagai berikut:

• $X_1\bar{} = 27,8$
• $X_2\bar{} = 21,3$
• $S_1^2 = 7,2$
• $S_2^2 = 6,9$

Buatlah interval 90% untuk selisih rata-rata:

$$S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2} = \frac{(12-1) \cdot 7,2 + (10-1) \cdot 6,9}{12 + 10 - 2} = 7,065$$

Dengan $\alpha = 0,1$, maka $\alpha/2 = 0,05$, dan nilai $t(n_1+n_2-2; \alpha/2)$ pada tabel t-distribution untuk 20 derajat kebebasan adalah 1,725.

Interval estimasi selisih rata-rata (μ1 - μ2) adalah:

$$(27,8 - 21,3) - 1,725 \cdot \sqrt{7,065 \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{10}\right)} \leq \mu_1 - \mu_2 \leq (27,8 - 21,3) + 1,725 \cdot \sqrt{7,065 \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{10}\right)}$$

Menghitung hasilnya:

$$6,5 - 1,725 \cdot 1,13808 \leq \mu_1 - \mu_2 \leq 6,5 + 1,725 \cdot 1,13808$$ $$4,54 \leq \mu_1 - \mu_2 \leq 8,46$$

Interpretasi:
Selisih waktu belajar rata-rata antara mahasiswa dan mahasiswi setiap minggu adalah antara 4,54 hingga 8,46 jam.

---

Soal Sampel Besar:

Seorang pelaku agrobisnis melakukan eksperimen menanam melon pada 50 petak tanpa pupuk (n1 = 50) dan 45 petak dengan pupuk (n2 = 45). Setelah panen, hasil yang diperoleh dalam kuintal per petak adalah sebagai berikut:

• Tanpa pupuk ($n_1 = 50$):
  $X_1\bar{} = 7,8$, $S_1^2 = 4,3$
• Dengan pupuk ($n_2 = 45$):
  $X_2\bar{} = 6,2$, $S_2^2 = 3,6$

Buatlah interval konfidensi 90% untuk selisih rata-rata produksi melon (μ1 - μ2) antara petak yang diberi pupuk dan yang tidak diberi pupuk.

Dengan $\alpha = 0,1$ dan $\alpha/2 = 0,05$, nilai $Z_{\alpha/2} = 1,64$, kita dapat menghitung $S_p^2$ sebagai berikut:

$$S_p^2 = \frac{(50-1) \cdot 4,3 + (45-1) \cdot 3,6}{50 + 45 - 2} = 3,97$$

Interval konfidensi untuk selisih rata-rata:

$$(7,8 - 6,2) - 1,64 \cdot \sqrt{3,97 \left(\frac{1}{50} + \frac{1}{45}\right)} \leq \mu_1 - \mu_2 \leq (7,8 - 6,2) + 1,64 \cdot \sqrt{3,97 \left(\frac{1}{50} + \frac{1}{45}\right)}$$

Menghitung hasilnya:

$$1,47 \leq \mu_1 - \mu_2 \leq 1,74$$

Interpretasi:
Selisih rata-rata hasil panen melon per petak antara yang tidak menggunakan pupuk dan yang menggunakan pupuk adalah antara 1,47 kuintal dan 1,74 kuintal.