uas penyelesaian persamaan differensial secara analitik Fisika Komputasi Dengan Jawaban

Persamaan differensial adalah persamaan yang menyangkut turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variable bebas. Berdasarkan jumlah variable bebasnya, persamaan differensial biasa (PDB) atau  Ordinary Differential Equation (ODE) dan persamaan differensial parsial (PDP) atau Partial Differenetial Equation (PDE).

Persamaan differensial biasa (PDB) adalah persamaan differensial yang menyangkut turunan biasa dari satu atau lebih variable tak bebas terhadap satu variable bebas.

Contoh :

1)     d²y/dx² + xy (dy/dx)² = 0

Persamaan differensial dinyatakan sebagai persamaan yang mengandung suatu besaran dan differensialnya, dan dituliskan  dengan :

F ( x, dx/dt, d²x/dt², ..., dⁿx/dtⁿ, t ) = 0

Persamaan differensial mempunyai banyak ragam dan jenis mulai dari yang mudah diselesaikan hingga yang sulit diselesaikan, mulai dari yang sederhana sampai yang sangat kompleks. Salah satu persamaan differensial yang banyak digunakan dalam penerapannya adalah Persamaan differensial Linier, yang dituliskan dengan :

Persamaan differensial linier umumnya dapat diselesaikan dengan menggunakan cara analitik seperti pemakaian Transformasi Laplace, tetapi pada bentuk yang kompleks persamaan differensial linier ini menjadi sulit diselesaikan.

Metoda Analitik : Metoda ini dapat menghasilkan dua bentuk solusi yaitu bentuk eksplisit dan implicit yang dicari melalui teknik deduktif analogis dengan menggunakan konsep-konsep matematik. Kelebihannya dapat mengetahui bentuk fungsi solusinya namun tidak cukup fleksibel untuk masalah-masalah yang komplek.

Penyelesaikan persamaan diferensial adalah suatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensial dan juga memenugi kondisi awal yang diberikan  pada persamaan tersebut.  Didalam penyelesaian persamaan diferensial secara analitis, biasanya dicari penyelesaian umum yang mengandung konstanta sebarang dan kemudian mengevaluasi konstanta tersebut sedemikian sehingga hasilnya sesuai dengan kondisi awal. Metode penyelesaian persamanaa diferensial secara analitis terbatas pada persamaan persamaan dengan bentuk tertentu, dan biasanya hanya untuk menyelesaikan persamaan linier dengan koefisien konstanta.

Perhatikan contoh berikut :

dy/dx = y² Sin (x), jika y (0) = 1/2

Langkah-langkah penyelesainnya adalah sebagai berikut :

1. Diambil Q (y) = y² dan diselesaikan y² = 0, diperoleh y(x)=0 adalah penyeleaian konstan untuk Persamaan differensial.
2. Memisahkan variable dan mengintegralkan kedua sisi

Penyelesaian umum untuk persamaan diferensial adalah:
y(x) = 0 atau y(x) = (cos(x) - k )^-1 ,
karena y(x) = 0 tidak bisa diperoleh dari penyelesaian kedua.
Penyelesaian konstan tidak memenuhi syarat awal. Karena itu
y (0) = 1/2 = (cos(0) - k) ^-1 = (1- k)^-1 dengan k = –1.
Jadi, penyelesaian khusus untuk Persamaan Diferensial adalah y(x) = (cos(x) + 1)^-1 ,