Soal Olimpiade Matematika Mahasiswa Se Indonesia

BAGIAN PERTAMA

Struktur Aljabar

16 Mei 2006

Waktu: 90 menit

1. Diketahui G = {1, −1} grup dengan operasi kali dan = {(a, b, c) : a, b, c ∈ G} grup dengan operasi untuk setiap , ∈  : Banyaknya subgrup dari dengan order 4 adalah . . .


2. Penulisan permutasi   sebagai perkalian dari permutasi siklik yang saling disjoin adalah . . .

3. Perhatikan grup dihedral dengan order 8 :

Grup D4 ini mempunyai subgrup berorder 4 yang tidak siklik yaitu . . .

4. Perhatikan ring kuosien  adalah ideal yang dibangun oleh Unsur  di  mempunyai balikan dengan balikannya adalah . .
.

5. Contoh ideal maksimal di  adalah...

6. Perhatikan ring polinom  dan jika  notasi  menyatakan ideal yang dibangun oleh f. Bilangan  sehingga  membentuk field adalah . . .

7. Polinom  di ring  dapat difaktorkan atas polinom tak tereduksikan yaitu. . .

8. Jika F adalah field dengan order 81 maka karakteristik F adalah . . .

BAGIAN KEDUA

1. Misalkan G suatu himpunan tak kosong dan ∗ suatu operasi biner pada G yang
bersifat asosiatif dan untuk setiap a, b ∈ G berlaku  Buktikan
bahwa G adalah grup komutatif.

Catatan : 
2. Misalkan R suatu ring dengan karakteristik n (hingga). Untuk setiap a ∈ R notasi

G(a) = {ka : k ∈ Z}

menyatakan subgrup siklik dari R terhadap operasi tambah yang dibangun oleh a.
a. Buktikan bahwa jika R integral domain maka untuk setiap a, b ∈ R dengan  berlaku subgrup G(a) dan G(b) isomorfik.
b. Apakah jika pada pernyataan a. di atas, syarat R integral domain kita hilangkan, pernyataan “untuk setiap a, b ∈ R dengan  berlaku subgrup G(a) dan G(b) isomorfik” masih berlaku? Jelaskan.

3. Dari R ring dan himpunan tak kosong J ⊂ R dibentuk himpunan

N(I) = {r ∈ R | rx = 0, ∀x ∈ J}.

a. Tunjukkan N(J) tidak kosong
b. Apakah N(J) merupakan ideal? Jelaskan!
c. Jika J ⊂ J'⊂ R, apa yang dapat saudara simpulkan tentang hubungan N(J) dan N(J'). Jelaskan!