Keterbagian Oleh 3, 9 Dan 11

Misalkan bilangan a=a_n a_{n-1} ... a_1 a_0

• Bilangan a habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya (a_n + a_{n-1} +... +a_1 +a_0) habis dibagi 3.
• Bilangan a habis dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya (a_n +a_{n-1}+ ... +a_1 +a_0) habis dibagi 9
• Bilangan a habis dibagi 11 jika jumlah silang tanda ganti angka-angkanya (a_n - a_{n-1} + a_{n-1} ...) habis dibagi 11

BUKTI 

Disini akan dibuktikan sifat keterbagian oleh 9.

Suku-suku yang merupakan kelipatan 9 sudah jelas habis dibagi 9. Suku-suku yang bukan kelipatan 9 adalah a_n+ a_{n-1} + ... +a_1+ a_0, sehingga agar a habis dibagi 9 maka haruslah 9 |a_n+ a_{n-1} + ... +a_1+ a_0

contoh

1. Tentukan apakah 9123333456789 habis dibagi :
      a).3                     b). 9                                   c).11

Jawab:  
9+1+2+3+3+3+3+4+5+6+7+8+9 = 63
a). Karena 3 | 63 maka 3 | 9123333456789
b). Karena 9 | 63 maka 9 | 9123333456789
c).9-1+2-3+3-3+3-4+5-6+7-8+9 = 13. Karena 11 | 13 maka 11 | 9123333456789



2. Bilangan  6 angka  a1989b habis dibagi oleh 72. Tentukan nilai a dan b.

Jawab : 
72 = 8 × 9. Sehingga  8 | a1989b  dan  9 | a1989b.
8 | a1989b  ⇒ 8 | 89b  ⇒ b = 6
9 | a1989b  ⇒ 9 | a+1+9+8+9+b = a+33 ⇒ a = 3